Главная » Во время родов

Точка разрыва 1 рода

Tag: точки разрыва

Теорема (о разрывах монотонной функции)

Если функция определена на отрезке и монотонна. то она может иметь внутри этого отрезка. точки разрыва 1-го рода, и число точек либо конечно, либо счётно.

Доказательство этой теоремы легко следует из теоремы о существовании предела монотонной функции.

Пусть для определёности не убывает в промежутке . Возьмём любую точку , не совпадающую с левым концом , и рассмотрим ту часть , которая лежит влево от . При не убывает и ограничена сверху, поскольку при .

В силу теоремы о пределе монотонной функции заключаем, что существует конечный, а согласно свойству функции, имеющей конечный предел. получим, что .

Если , то непрерывна в точке слева. Аналогично убеждаемся, что в каждой точке , несовпадающей с правым концом либо непрерывна справа, либо имеет конечный предел . Ход доказательства для невозрастающей на функции аналогичен.

Итак, во всякой внутренней точке промежутка монотонная функция либо имеет точку разрыва первого с конечным скачком , либо непрерывна.

Рекомендации:

Учебники :
  • Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1, Глава 1, § 5, Тема 5.1 Точки непрерывности и точки разрыва функции стр.84-87 ;
  • Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том1, Глава 2, § 4 Непрерывность и разрыв функций стр.146-167 ;
  • Ильин В.А.,Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1, Глава 4, § 8 Классификация точек разрыва функции стр.143-145.
Сборники задач:
  • Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное, Отдел 1,§ 7 Непрерывность функции стр.77-87;
  • Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 Непрерывные функции стр.50-58 .

Разрывность функции

Классификация точек разрыва функций

Точка а называется точкой устранимого разрыва функции. если предел функции в этой точке существует, но в точке а функция либо не определена, либо ее значение не равно пределу в этой точке

Разрыв первого рода.

Точка а называется точкой разрыва первого рода функции. если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Разрыв второго рода.

Точка а называется точкой разрыва второго рода функции Точка а называется точкой устранимого разрыва функции. если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

25. Производная: определение, механический и геометрический смысл. Уравне-ние касательной к кривой.

Определение производной

Пусть функция определена на некотором промежутке Х. Придадим значению аргумента в точке произвольное приращение так, чтобы точка также принадлежала Х. Тогда соответствующее приращение функции составит .

Опр. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при (если этот предел существует).

Если в некоторой точке предел бесконечен, то говорят, что в этой точке функция имеет бесконечную производную. Если функция имеет производную в каждой точке множества Х, то производная также является функцией от аргумента х, определенной на Х.

Геометрический смысл производной

Для выяснения геометрического смысла производной нам понадобится определение касательной к графику функции в данной точке.

Опр. Касательной к графику функции в точке М называется предельное положение секущей МN, когда точка N стремится к точке М по кривой .

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку , имеет вид

Угловой коэффициент секущей равен

Тогда угловой коэффициент касательной равен

Отсюда следует наглядный вывод о том, что . В этом и состоит геометрический смысл производной .

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t0 до t0 + точка перемещается на расстояние: x ( t0 + ) - x ( t0 ) = , а её средняя скорость равна: va= / . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t0 ) материальной точки в момент времени t0. Но по определению производной мы имеем:

отсюда, v ( t0 ) = x’ ( t0 ). т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени. a = v’ ( t ).

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:

26. Основные правила дифференцирования. Производные основных элементар-ных функций.

1. Производная постоянной равна нулю

2. Производная аргумента равна единице.

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций.

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

Производные основных элементар-ных функций.

1. (C)” = 0, где C = const

2. (x a )” = ax a-1. где a не равно 0

3. (a x )” = a x ln a, где a 0

ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ И ИХ ВИДЫ

Определение точек разрыва функции и их видов является продолжением темы непрерывности функции. Наглядное (графическое) объяснение смысла точек разрыва функции даётся так же в контрасте с понятием непрерывности.

Функция считается непрерывной, если её график не терпит разрывов. Иначе говоря, график функции последовательно соединён во всех точках. График такой непрерывной функции - - на рисунке ниже.

Существуют, однако, функции, на графиках которых имеются изолированные точки, которые не соединены. Тогда и говорят, что функция терпит разрыв, а точки на графике, которые не соединены между собой, называются точками разрыва функции. График такой функции, терпящей разрыв в точке x=2 - - на рисунке ниже.

Обобщением вышесказанного является следующее определение. Если функция не является непрерывной в точке , то она имеет в этой точке разрыв а сама точка называется точкой разрыва. Разрывы бывают первого рода и второго рода.

Для того, чтобы определять виды точек разрыва функции нужно уверенно находить пределы . поэтому нелишне открыть в новом окне соответствующий урок.

Нахождение точек разрыва функции может быть как самостоятельной задачей, так и частью Полного исследования функции и построения графика .

Точка разрыва первого рода. У функции существуют как конечный (т. е. не равный бесконечности) левый предел, так и конечный правый предел, но функция не определена в точке или левый и правый пределы различны.

Точка устранимого разрыва первого рода. Левый и правый пределы равны. При этом существует возможность доопределить функцию в точке.

Пример 1. Определить точку разрыва функции и вид точки разрыва.

Решение. Функция не определена в точке . Находим левый и правый пределы функции в этой точке:

Левый и правый пределы равны, следовательно точка - точка устранимого разрыва первого рода.

Есть возможность доопределить функцию:

График функции с точкой разрыва - под примером.

Для самоконтроля при вычислении пределов можно воспользоваться онлайн калькулятором пределов .

Точка неустранимого (конечного) разрыва первого рода. Существуют левый и правый пределы, но они различны. Функцию невозможно доопределить. Разность пределов называется скачком.

Пример 2. Определить точку разрыва функции и вид точки разрыва для функции

Решение. Очевидно, что в точке меняется выражение функции. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:

Левый и правый пределы не равны равны, следовательно точка - точка неустранимого (конечного) разрыва первого рода. График функции с точкой разрыва - под примером.

Для самоконтроля при вычислении пределов можно воспользоваться онлайн калькулятором пределов .

Нахождение точек разрыва функции может быть как самостоятельной задачей, так и частью Полного исследования функции и построения графика .

Точка разрыва второго рода. Точка, в которой хотя бы один из пределов (левый или правый) - бесконечный (равен бесконечности).

Пример 3. Определить точку разрыва функции и вид точки разрыва для функции

Решение. Из выражения степени при e видно, что в точке функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:

Один из пределов равен бесконечности, поэтому точка - точка разрыва второго рода. График функции с точкой разрыва - под примером.

Для самоконтроля при вычислении пределов можно воспользоваться онлайн калькулятором пределов .

Нахождение точек разрыва функции может быть как самостоятельной задачей, так и частью Полного исследования функции и построения графика .

И ещё пара примеров.

Пример 4. Определить точку разрыва функции и вид точки разрыва для функции

Решение. Из выражения степени при 2 видно, что в точке функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:

Пределы не равны и конечны, поэтому точка - точка неустранимого разрыва первого рода. График функции с точкой разрыва - под примером.

Для самоконтроля при вычислении пределов можно воспользоваться онлайн калькулятором пределов .

Пример 5. Определить точку разрыва функции и вид точки разрыва для функции

Решение. Очевидно, что в точке функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:

Оба предела бесконечны, поэтому точка - точка разрыва второго рода. График функции с точкой разрыва - под примером.

Для самоконтроля при вычислении пределов можно воспользоваться онлайн калькулятором пределов .

Весь раздел Исследование функций

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

БЛОКИ САЙТА

Источники: http://ib.mazurok.com/tag/%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%B0/, http://www.studfiles.ru/preview/5185504/page:5/, http://function-x.ru/function_discontinuity.html

Комментариев пока нет!

Ваше имя *
Ваш Email *

Сумма цифр внизу: код подтверждения